Conjetura de Goldbach: si no es demostrable, debe ser verdadera

El punto de partida para un razonamiento riguroso en matemáticas es un sistema de axiomas. Un axioma es un enunciado que se asume, sin demostración, como verdadero. Al matemático griego Tales se le atribuye la introducción del método axiomático, en el que cada enunciado se deduce de axiomas o de enunciados previamente probados, utilizando las leyes de la lógica.

Un axioma suele ser evidente por sí mismo: «el todo es mayor que la parte» es un ejemplo. Pero el quinto axioma, o postulado de Euclides, relativo a las líneas paralelas, está lejos de ser obvio. Durante dos mil años, los matemáticos lucharon por deducirlo de los cuatro postulados iniciales, pero todos los intentos terminaron en fracaso. Ahora sabemos que el postulado paralelo es independiente de los axiomas restantes de Euclides. Puede suponerse que es verdadero o falso y un sistema de geometría autoconsistente se sigue de cualquiera de las opciones.

Una proposición que se cree verdadera, pero para la que no se ha encontrado ninguna prueba, se llama conjetura. La teoría de números abunda en conjeturas intrigantes: la conjetura de Riemann, la conjetura de los primos gemelos y la conjetura de Goldbach. La prueba de cualquiera de estos traería fama duradera al descubridor.

Carta de Goldbach

En 1742, Christian Goldbach escribió una carta a su amigo, el incomparable Leonhard Euler, proponiendo que todo entero mayor que 2 es la suma de tres números primos. Euler respondió que esto se seguiría de la afirmación más simple de que «todo entero par mayor que 2 es la suma de dos números primos».

La conjetura de Goldbach es uno de los problemas sin resolver más conocidos en matemáticas. Es muy sencillo comprobar la conjetura en algunos casos: 8 = 5 + 3, 16 = 13 + 3, 36 = 29 + 7. Se ha confirmado para cifras de hasta más de un millón de millones de millones. Pero hay un número infinito de posibilidades, por lo que este enfoque nunca puede probar la conjetura. Muchos matemáticos brillantes lo han intentado sin éxito. Si se encuentra una prueba, es probable que implique alguna idea o enfoque radicalmente nuevo.

«El tío Petros y la conjetura de Goldbach»

La conjetura de Goldbach es el tema central de una novela de Apostolos Doxiadis, «El tío Petros y la conjetura de Goldbach». El héroe es Petros Papachristos, un talentoso y solitario matemático griego que ha pasado la mayor parte de su carrera intentando probar la conjetura de Goldbach. El narrador es su sobrino, quien cuenta la historia de cómo, cuando era un joven adolescente, su excéntrico tío Petros le encargó la tarea de probar la conjetura.

La novela describe aspectos de la historia reciente de las matemáticas y ofrece algunas ideas brillantes sobre el estado mental y los métodos de un matemático investigador. Aunque es una obra de ficción, Doxiadis acerta en los detalles matemáticos. Da un gran sentimiento por la pasión que impulsa a un matemático investigador y un buen sabor de la naturaleza de las matemáticas puras.

El tío Petros se da cuenta de la implicación de los avances en la lógica matemática: la conjetura de Goldbach puede no ser demostrable; el objetivo del trabajo de su vida puede ser inalcanzable.

El sueño de Hilbert

¿Se puede probar todo enunciado matemático verdadero? El gran matemático alemán David Hilbert así lo creía y en 1928 planteó un desafío, pidiendo un algoritmo para establecer la validez o no de cualquier conjetura. Estaba destinado a decepcionarse.

En 1931, el lógico Kurt Gödel demostró que las matemáticas son incompletas: sea cual sea el sistema de axiomas que asumamos, hay enunciados que son verdaderos pero que no se pueden probar usando solo estos axiomas; en pocas palabras, la demostrabilidad es un concepto más débil que la verdad. Agregar axiomas adicionales puede hacer que tales declaraciones sean verdaderas, pero luego surgen inevitablemente nuevas declaraciones verdaderas pero no probables.

Pero, ¿qué pasa si tenemos una conjetura que deseamos probar, partiendo de los axiomas habituales de las matemáticas? ¿Podemos saber de antemano si una demostración matemática es posible o si la conjetura no es demostrable? El problema de la decisión de Hilbert preguntaba, en esencia, si hay una manera de determinar, en ausencia de una prueba, si una proposición o enunciado matemático dado es verdadero o falso.

En 1936, el lógico estadounidense Alonzo Church demostró que no puede haber una respuesta positiva al problema de la decisión. Independientemente, Alan Turing llegó a la misma conclusión. La implicación es que, dentro de un sistema dado de axiomas, no hay forma de decir, de antemano, si una conjetura dada puede o no ser probada. El sueño de Hilbert se hizo añicos.

Cuando el tío Petros se enteró de estos resultados, él también quedó devastado. Se dio cuenta de que tal vez no fuera posible una prueba de la conjetura de Goldbach, en la que había trabajado durante décadas. El trabajo de su vida pudo haber sido en vano.

No hay ninguna razón sólida para sugerir que la conjetura de Goldbach no pueda probarse sobre la base de los axiomas habituales de las matemáticas; la única justificación para tal afirmación es que el problema existe desde hace casi 280 años. Pero supongamos que la conjetura no puede demostrarse. ¡Entonces debe ser verdad!

¿Por qué? Porque, si fuera falso, habría algún número par finito que no es la suma de dos primos. Una búsqueda finita podría confirmar esto, ¡haciendo que la conjetura sea «demostrablemente falsa»! En otras palabras, la falsedad de la conjetura es incompatible con la imposibilidad de demostrarlo. Esta contradicción nos obliga a una conclusión ineludible: si la conjetura de Goldbach no puede demostrarse, ¡debe ser verdadera!

Fuente: That’s Maths