El enigma matemático más famoso de la historia fue planteado por Pierre de Fermat (1607-1665), un magistrado francés cuya pasión por las Matemáticas lo llevó a hacer contribuciones monumentales en su tiempo libre.
El misterio nació alrededor de 1637, cuando Fermat leía una edición de la Aritmética de Diofanto. Al margen, dejó una afirmación audaz que desafiaría a las mentes más brillantes por casi cuatro siglos.
El Enunciado del Teorema
El Teorema de Pitágoras (x2 + y2 = z2) tiene infinitas soluciones en números enteros positivos. Fermat afirmó que, si elevamos el exponente a cualquier número entero mayor que 2 (n > 2), la ecuación no tendría ninguna solución de números enteros positivos (x, y, z).
Es decir, que la ecuación:
No tiene soluciones enteras positivas.
La Anotación Desafiante y la Recompensa
Junto a su conjetura, Fermat dejó la nota más frustrante y motivadora de la historia de la ciencia:
«He descubierto una demostración verdaderamente maravillosa para esta proposición, pero este margen es demasiado estrecho para contenerla.»
Así nació el «Último Teorema de Fermat». Su fama creció tanto que, a lo largo de los siglos, se ofrecieron importantes recompensas (notablemente el Premio Wolfskehl de 100.000 marcos de oro en 1908) a quien lograra resolverlo.
La Larga Marcha de los Matemáticos Clásicos
El Último Teorema de Fermat se convirtió en un motor para la creación de nuevas teorías. Durante más de 300 años, los matemáticos solo pudieron probar casos particulares del enunciado:
- Leonhard Euler (c. 1770): El primero en lograr un gran avance, demostró el caso para los cubos (n = 3), utilizando números complejos y descenso infinito.
- Sophie Germain (principios del S. XIX): Una figura pionera, hizo una contribución crucial al demostrar el Primer Caso (cuando x, y, z no son divisibles por n) para todos los exponentes primos menores que 100 (conocidos como primos de Germain).
- Ernst Kummer (mediados del S. XIX): Desarrolló la Teoría de los «Números Ideales» y la usó para probar el teorema para una vasta clase de exponentes llamados primos regulares. Este avance demostró que la «demostración maravillosa» de Fermat (si existió) no podía basarse en las herramientas de su tiempo.
A pesar de estos éxitos, la prueba general para todos los exponentes $n$ seguía siendo un muro infranqueable.
La Solución Moderna: El Vínculo entre Geometría y Aritmética
La resolución final del Teorema vino de una conexión profunda entre dos áreas avanzadas de las Matemáticas: la Geometría de las Curvas Elípticas y el Análisis de las Formas Modulares.
La Conexión Frey-Ribet-Serre
En 1985, los matemáticos Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre y Ken Ribet establecieron el puente definitivo:
- Supongamos que existía una solución para la ecuación de Fermat (xn + yn = zn).
- Esta solución generaría inmediatamente una Curva Elíptica semiestable (y2 = x (x – an)(x – bn)) (la llamada Curva de Frey).
- Pero en 1990, Ken Ribet demostró la Conjetura Épsilon, probando que la existencia de esta curva anómala contradecía la Conjetura de Taniyama-Shimura.
En resumen: Si la Conjetura de Taniyama-Shimura era cierta, el Último Teorema de Fermat tenía que ser cierto.
Andrew Wiles: El Héroe Solitario:
Aquí es donde entra el matemático británico Andrew Wiles. Desde niño, el Teorema de Fermat fue su obsesión.
En 1986, Wiles se encerró y trabajó en secreto durante siete años (1986-1993). Su misión: demostrar el caso semiestable de la Conjetura de Taniyama-Shimura.
En 1993, Wiles anunció su demostración en una serie de conferencias, generando un impacto mediático mundial sin precedentes para un resultado matemático.
Sin embargo, la historia no termina ahí. La revisión de sus colegas reveló un error crítico. Wiles y su exalumno Richard Taylor trabajaron en la corrección, y en 1994 presentaron la demostración revisada y definitiva.
Al demostrar el caso semiestable de Taniyama-Shimura, Wiles demostró que la curva anómala de Frey no podía existir. Y por lo tanto, probó que la ecuación de Fermat no tiene soluciones enteras positivas.
La prueba de Wiles abarca más de 100 páginas y utilizó estructuras matemáticas que eran inconcebibles en la época de Fermat.
El Legado del Último Teorema
La verdadera importancia del Último Teorema de Fermat va más allá de un simple número.
Este problema impulsó la Teoría de Números durante tres siglos y, lo más importante, su resolución demostró una unidad subyacente en las Matemáticas. Wiles no solo cerró un capítulo histórico, sino que inauguró una nueva era al mostrar la profunda y hermosa conexión entre la geometría y la aritmética, una hazaña que le valió el Premio Abel en 2016.
El Teorema de Fermat nos recuerda que las preguntas más simples a menudo esconden las complejidades más profundas del universo.
