El número 6174: la constante de Kaprekar

El matemático indio Dattatreya Ramachandra Kaprekar pasó muchas horas resolviendo acertijos matemáticos durante su juventud. Se graduó en el Fergusson College en Pune en 1929 y se convirtió en profesor de matemáticas en una escuela en Devlali, al noreste de Mumbai.

Hoy en día, Kaprekar es recordado por una serie de curiosos patrones matemáticos que descubrió. El más conocido es probablemente el relacionado con el número 6174, a veces llamado constante de Kaprekar.

Consiste simplemente en reordenar los dígitos de un número de modo que se obtenga el mayor y el menor número posible, restando entonces el menor del mayor.

Si cogemos los cuatro dígitos de 6174 y formamos dos nuevos números ordenándolos en orden descendente y ascendente, obtenemos 7641 y 1467. Al restar, obtenemos 7641 – 1467 = 6174, el número desde el cual comenzamos.

Esto no es una gran sorpresa. Lo que sorprende es que, comenzando desde cualquier otro número de cuatro dígitos (que no sea «repdigits«, como 3333, debido a que su sustracción resulta en cero) y repitiendo el mismo proceso, siempre llegamos al 6174. Por ejemplo:

• Cogemos el número 1234 y aplicamos el mismo proceso:

4321 – 1234 = 3087

8730 – 0378 = 8352

8532 – 2358 = 6174

• Nuevamente, si elegimos el año actual, 2018, obtenemos la secuencia:

8210 – 0128 = 8082

8820 – 0288 = 8532

8532 – 2358 = 6174

El proceso iterativo siempre converge a la constante de Kaprekar en, como mucho, siete pasos.

Hay resultados análogos para los números con un número diferente de dígitos. Para los números de tres dígitos (excluyendo los “repdigits”, de nuevo), el punto fijo es 495, que se alcanza como máximo en seis iteraciones.

Para números con otras longitudes de dígitos, el proceso de Kaprekar puede terminar en un punto fijo o ingresar a un ciclo que cubra varios valores. El comportamiento puede depender del número inicial. Por ejemplo, los números de dos dígitos con dígitos distintos siempre llegan al ciclo {09, 81, 63, 27, 45} y lo repiten para siempre.

Hasta el momento, ningún matemático tiene claro por qué sucede todo esto y por qué con tres y cuatro dígitos se llega a un único número, mientras que con otro número de dígitos no se llega a ninguno sino a ciclos, o por qué para complicar la cosa a veces se llega a varios números posibles y también a ciclos. ¿Habrá algún número con más dígitos que converja en un solo número?

Fuente: ThatsMaths – Microsiervos