Las ecuaciones de Navier-Stokes

El desafío matemático que describe el movimiento de los fluidos (y que aún no hemos resuelto del todo)

Desde el flujo del aire alrededor de un avión hasta la circulación sanguínea o la predicción del clima, las ecuaciones de Navier-Stokes son fundamentales para comprender cómo se mueven los fluidos. Sin embargo, a pesar de su enorme utilidad práctica, aún no sabemos si siempre se comportan bien desde un punto de vista matemático.

¿Qué son las ecuaciones de Navier-Stokes?

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales que describen cómo se mueve un fluido viscoso (como el agua o el aire). Surgen de aplicar dos principios básicos:

• Conservación de la masa (no se crea ni destruye fluido)

• Conservación del momento lineal (segunda ley de Newton aplicada al movimiento del fluido)

Su forma general es:

Dónde:

• $\rho$: densidad del fluido

• $\mathbf{u}$: campo de velocidades

• $p$: presión

• $\mu$: viscosidad

• $\mathbf{f}$: fuerzas externas (como la gravedad)

Estas ecuaciones permiten predecir cómo se mueve un fluido bajo ciertas condiciones… al menos, cuando todo va bien.

Un poco de historia

Fueron formuladas en el siglo XIX por Claude-Louis Navier (1822) y más tarde completadas por George Gabriel Stokes (1845), al introducir el concepto de viscosidad en los modelos de fluidos. Son la base de la mecánica de fluidos moderna.

Aplicaciones en la vida real

Las Navier-Stokes están por todas partes:

• 🌪 Meteorología: predicción del tiempo, formación de huracanes, modelado del clima…

• 🚀 Aeronáutica: diseño de alas, cohetes y drones.

• 💉 Medicina: en hemodinámica se aplican versiones simplificadas, ya que la sangre es un fluido no newtoniano cuya viscosidad cambia con el esfuerzo.

• 🚗 Automoción: aerodinámica y consumo de combustible.

• 🧱 Ingeniería civil: canalización, presas, oleaje…

• 🎮 Cine y videojuegos: simulación de agua, humo y fuego (ej: Frozen, Moana).

El problema del milenio

A pesar de su uso habitual en simulaciones, no se ha demostrado matemáticamente que siempre funcionen bien.
El Instituto Clay de Matemáticas ofrece un millón de dólares a quien logre probar si las Navier-Stokes cumplen dos condiciones en 3D:

1. Existencia: que siempre haya una solución válida para un fluido incompresible en condiciones realistas.

2. Suavidad: que esa solución sea continua, sin infinitos ni rupturas (es decir, sin singularidades).

Aunque existen soluciones locales para ciertos casos, el desafío es demostrar que estas se mantienen globalmente válidas en el tiempo, sin colapsar.

¿Por qué es tan difícil?

Porque las Navier-Stokes son no lineales.
Eso significa que pequeñas causas pueden generar grandes efectos, como una simple corriente de aire alterando completamente el movimiento del humo de una vela. Es el fenómeno que permite la aparición de turbulencias, caóticas por naturaleza.

Además, podrían formarse singularidades: puntos donde la presión o la velocidad del fluido se vuelven infinitas.
Serían como agujeros negros matemáticos, donde las ecuaciones ya no sirven.

En 2014, el matemático Terence Tao planteó posibles escenarios en los que podrían surgir estas singularidades en tiempo finito, lo que sugiere que tal vez el problema sea irresoluble con las herramientas actuales.

¿Y cómo se usan si no están resueltas?

En la práctica, las soluciones exactas no son necesarias. Se usan simulaciones numéricas que aproximan las soluciones mediante métodos computacionales:

• RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes): promedio del flujo para obtener una versión más simple.

• LES (Large Eddy Simulation): simula grandes remolinos y modela los pequeños.

Aun así, resolver la turbulencia real a todas las escalas sigue siendo imposible incluso con supercomputadoras.

Curiosidades

• Las ecuaciones de Euler son un caso especial de las Navier-Stokes sin viscosidad. También presentan problemas no resueltos.

• Resolver el problema no cambiaría lo que hacemos en simulaciones, pero validaría los modelos que usamos hoy.

• En cine, los algoritmos para animar nieve, agua o fuego se basan en versiones simplificadas de estas ecuaciones.

• Google DeepMind ha investigado el uso de inteligencia artificial para predecir soluciones fluidas sin resolver directamente las ecuaciones.

Conclusión

Las ecuaciones de Navier-Stokes son un puente entre lo práctico y lo desconocido.
Las usamos para diseñar aviones, estudiar la sangre o prever tormentas, pero su base matemática sigue siendo un misterio.

Resolver este enigma no solo ganaría un millón de dólares, sino que nos diría si la naturaleza del caos fluido es, en el fondo, predecible con las herramientas adecuadas.

O, dicho de otra forma: ¿es posible que un huracán obedezca, sin excepciones, una fórmula escrita en el siglo XIX?