Durante siglos, el mundo se basó en los números racionales; aquellos que pueden expresarse como una fracción (\(a\) y \(b\)) o como un decimal que termina o se repite. Los antiguos griegos, especialmente los pitagóricos, creían que todo en el universo podía describirse perfectamente mediante proporciones de números enteros.
Para ellos, la Geometría, la Música y la Cosmología eran manifestaciones de esta armonía racional.
El Descubrimiento Prohibido
Esta visión del mundo se derrumbó con el descubrimiento de un número simple: la raíz cuadrada de dos (\(\sqrt{2}\)).
Considera un cuadrado cuyos lados miden exactamente 1 unidad. Según el Teorema de Pitágoras, la longitud de su diagonal es \(\sqrt{1^2 + 1^2}\), es decir, \(\sqrt{2}\).
El problema que descubrieron los pitagóricos era que esta longitud no podía medirse con la regla de sus números. Hipaso de Metaponto, un discípulo de Pitágoras, fue quien demostró que \(\sqrt{2}\) no puede expresarse como una fracción de dos números enteros.
Definición: Un número irracional es un número real que no puede escribirse como una fracción \(\frac{a}{b}\), donde \(a\) y \(b\) son enteros (\(b \neq 0\)). Sus representaciones decimales son infinitas y no periódicas.
El descubrimiento de \(\sqrt{2}\) demostró que existen cantidades reales que van más allá de lo que se puede medir usando únicamente la proporción entre números enteros.
Los Irracionales Famosos: \(\pi\) y \(e\)
Aunque \(\sqrt{2}\) fue el primero en causar problemas, los números irracionales más famosos en la ciencia y la ingeniería son las constantes trascendentales \(\pi\) y \(e\).
1. Pi (\(\pi\)): La Conexión Circular
- Definición: \(\pi\) es la relación constante entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.
- Irracionalidad: El matemático suizo Johann Heinrich Lambert demostró en 1761 que \(\pi\) es irracional.
- Trascendencia: \(\pi\) es un número trascendental (demostrado por Ferdinand von Lindemann en 1882), lo que significa que no puede ser la raíz de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Esta propiedad resolvió el antiguo problema de la «cuadratura del círculo».
2. \(e\): El Número del Crecimiento Exponencial
- Definición: Conocido como el número de Euler, \(e\) es la base de los logaritmos naturales y aparece en todo proceso de crecimiento o decaimiento continuo (interés compuesto, desintegración radiactiva, etc.).
- Irracionalidad: Fue demostrada por Leonhard Euler en 1737.
- Trascendencia: \(e\) también es trascendental. Es la base que rige el mundo natural, siendo esencial en campos como la Física y la Biología.
El Número Áureo (\(\phi\))
Otra constante fundamental que produce irracionales es el Número Áureo (\(\phi\)), que se encuentra en patrones de crecimiento biológico y arte: \(
\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\)
Como contiene \(\sqrt{5}\) (que es irracional), (\(\phi\)) es también un número irracional.
🌌 La Inmensidad de lo Inconmensurable
El impacto de los números irracionales es profundo y define la verdadera naturaleza de la recta numérica.
1. Densidad Incontable
La recta numérica no está llena solo de números racionales. De hecho, si escogieras un punto al azar, la probabilidad de que fuera irracional es del 100\%.
Los matemáticos demuestran que los números racionales son contables (se pueden poner en una lista), mientras que los irracionales son incontables, una cantidad de infinito de orden superior. Los racionales son «densos» (siempre hay uno entre dos números), pero los irracionales son muchísimo más densos.
2. La Fórmula más Hermosa
La culminación de la belleza de los irracionales se encuentra en la Identidad de Euler, considerada por muchos como la fórmula más bella de las matemáticas, que conecta cinco de las constantes fundamentales del universo en una simple ecuación:
El descubrimiento de los irracionales no fue el fin de las matemáticas, sino su verdadero comienzo. Demostró que la realidad es mucho más rica de lo que los pitagóricos imaginaron, extendiendo el universo numérico más allá de lo que se puede medir con una simple fracción.