¿Y si te dijeran que con las matemáticas puedes cortar una naranja en trozos, recolocarlos y obtener dos naranjas idénticas a la original?
Parece magia, pero es un resultado matemático real: la paradoja de Banach-Tarski.
La paradoja en pocas palabras
Propuesta en 1924 por los matemáticos Stefan Banach y Alfred Tarski, esta paradoja afirma que:
Una esfera sólida en 3 dimensiones puede descomponerse en un número finito de piezas, y al recolocarlas (sin estirarlas ni deformarlas), se obtienen dos esferas completas idénticas a la original.
No hay trucos: los trozos son finitos, y no se permite añadir materia. Sin embargo, al final tienes el doble de lo que empezaste.
¿Cómo es posible?
La clave está en que estas piezas no son trozos normales.
Son conjuntos no medibles, es decir, no tienen un volumen bien definido. Su estructura es tan infinitamente compleja y fractal que solo puede construirse si aceptamos el axioma de elección. No son piezas que puedas ver ni manipular: son entidades puramente matemáticas.
El axioma de elección: la llave del rompecabezas
El axioma de elección, fundamental en teoría de conjuntos, dice que es posible “elegir” un elemento de cada conjunto dentro de una colección infinita de conjuntos, incluso sin una regla definida para hacerlo.
Analogía: es como si pudieras seleccionar un grano de arena de cada playa del mundo… simultáneamente, y sin especificar cómo lo haces.
Este principio, que parece inocente, tiene consecuencias tan poderosas como la paradoja de Banach-Tarski.
¿Por qué no funciona en el mundo físico?
Aquí está la clave: estos trozos no existen en la naturaleza.
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No se parecen a átomos ni a partículas subatómicas.
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No tienen volumen individual.
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Su existencia depende de aceptar un marco matemático con infinitos puntos ideales.
Duplicar una naranja real requeriría reorganizar sus átomos. Pero la paradoja ocurre en el nivel de los puntos geométricos: infinitos, indivisibles y sin volumen. Por eso, es imposible físicamente, pero válido matemáticamente.
Más allá de la paradoja
La paradoja de Banach-Tarski es en realidad un teorema riguroso dentro de la teoría de conjuntos estándar (ZFC). No es una inconsistencia, sino una demostración de que nuestro concepto intuitivo de “volumen” es incompleto.
Al aceptar el axioma de elección, descubrimos que no todas las figuras pueden medirse. La paradoja es la prueba definitiva de que la noción de volumen, aunque útil en la vida diaria, no es universal en matemáticas.
De hecho, la paradoja muestra que la conservación del volumen no se aplica a conjuntos no medibles. En el mundo medible (el nuestro), el volumen se conserva siempre.
Analogía opcional: imagina un rompecabezas de 1000 piezas que, al recolocarlas de cierta manera, pudiera convertirse en dos copias idénticas del original. La “magia” está en que las piezas son tan extrañas que el concepto de volumen deja de tener sentido.
Conclusión
La paradoja de Banach-Tarski no es un error de las matemáticas. Es un recordatorio de que la lógica puede llevarnos a territorios donde la intuición no alcanza.
En el reino de los infinitos y los axiomas, lo imposible no solo es posible… a veces, es inevitable.
